第2章新 控制系统的数学模型

第2章 控制系统的数学模型

控制系统的数学模型，是描述系统输入、输出以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的等都可以用微分方程加以描述。对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。

建立控制系统的数学模型，一般采用解析法和实验法两种。解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律或化学规律（例如，电学中有克希荷夫定律、力学中有牛顿定律、热力学中有热力学定律等）分别列写相应的运动方程。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其响应，按照物理量随时间的变化规律，用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。近些年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支。本章主要采用解析法建立系统的数学模型。

数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。

2.1 物理系统动态描述

微分方程是在时域中描述系统(或元件)动态特性的数学模型，利用它可以得到描述系统（或元件)动态特性的其他形式的数学模型。这里主要运用机理建模法对常见的机械、电气等物理系统建立其数学模型。

2.1.1列写微分微分方程的一般方法

列写系统或元件的微分方程，目的在于确定系统输入量与输出量之间的数学关系，而系统由元件组成。用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：

⑴ 根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量；

⑵ 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组；

⑶ 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；

⑷ 将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，各阶导数项按降幂排列。

2.1.2机械系统的微分方程

机械系统的微分方程可以运用牛顿定律进行推导。下面通过举例说明机械系统微分方程的求取方法。

1. 机械系统微分方程

例2-1设有一个由弹簧、质量、阻尼器组成的机械平移系统，如图2-1所示。试列写出系统的数学

模型。

Fy

图2-1 机械平移系统

解 由牛顿第二定律有ma(t)

F(t)，即

d2y(t)dyt()

F(t) Ft( )Ft( )Ft (f) Kyt () mfk

dt2dt

md2（yt）fd(y)t1

y(t)F(t ) （2-1）整理得 2

KdtKdtK

式中：m—运动物体质量，kg；

y—运动物体位移，m；

f—阻尼器粘性阻尼系数，n s/m；

Ff(t)—阻尼器粘滞摩擦阻力，它的大小与物体移动的速度成正比，方向与物体移动的

方向相反， Ff(t) fk—弹簧刚度，n/m；

dy(t)

； dt

Fk(t)—弹簧的弹性力，它的大小与物体位移（弹簧拉伸长度）成正比，Fk(t) Ky(t)。

运动方程式（2-1）即为此机械平移系统的数学模型。

例2-2设有一个由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械回转系统，如图2-2所示。外力矩M(t)为输入信号，角位移θ(t)为输出信号，试列写出系统的数学模型。

图2.-2 机械回转系统

解 由牛顿第二定律，有Je(t)

M(t)，即

d2 (t)d (t)

J M(t) M(t) M(t) f f2

dtdt

d2 (t)d (t)

整理得 J f M(t) （2-2） 2

dtdt

式中： J—惯性负载的转动惯量，kg m2；

θ—转角，rad；

f—粘性摩擦阻尼器的粘滞阻尼系数，n m s/rad； kJ —扭转弹簧刚度，n.m/rad；

运动方程式（2-2）就是此机械旋转系统的数学模型。

例2-3设有如图2-3所示的齿轮传动链，试对传动链进行动力学分析。

TL

a) 原始轮系图 b) 等效轮系 图2-3 齿轮传动链

解 由电动机M输入的转矩为Tm，L为输出端负载，TL为负载转矩。图中所示的zi为各齿轮齿数，J1、J2、J3及θ1、θ2、θ3分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角。

假设各轴均为绝对刚性，即KJ→∞，根据牛顿第二定律式可得如下动力学方程组

Tm J1 1 f1 1 T1

""

T2 J2 2 f2 2 T3 （2-3）

""

T4 J3 3 f3 3 TL

式中： f1、f2、f3——传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；

T1——齿轮z1对Tm的反转矩，n m； T2——z1对T1的反转矩，n m； T3——z3对T2的反转矩，n m； T4——z4对T3的反转矩，n m；

TL——输出端负载对T4的反转矩，即负载转矩。 由齿轮传动的基本关系可知：

""

T2

z2z

T1, 2 1 1；T4 z4T3, 3 z3 2 z1z3 1 z1z2z3z4z2z4

于是由式（2-3）可得：

z

Tm J1 1 f1 1 1

z2

"

"

"" "z3 "

J f J f T2233 323L 2

z 4

2222

" z1 z1z3 z1 z1z3 " z1z3 J1 J2 J3 1 f1 f2 f3 1 TL

zzzzzzzz 2 24 2 24 24

（2-4）

z1 z1z3 J J J 令eq 2 J3；Jeq称为等效转动惯量； 1

z2 z2z4

令feq

22

z zz

f1 1 f2 13 f3；feq称为等效阻尼系数；

z2 z2z4

22

z1z3

T 令Leq TL；TLeq称为等效输出转矩。

z2z4

则有 Tm Jeq 1 feq 1 TLeq （2-5） 则图2-3（a）所示传动装置可简化为图2-3（b）所示的等效齿轮传动装置。 2.1.3 电气系统的微分方程

电气系统的微分方程根据欧姆定律、基尔霍夫定律（克希荷夫定律）、电磁感应定律等物理定律来进行列写，下面通过举例来说明列写方法。

例2-4 图2-4所示为一无源滤波器电路，试写出以输出电压uo(t)和输入电压ui(t)为变量的滤波网络的微分方程。

"

"

R

o

图2-4 Rc电路 解 根据基尔荷夫定律（克希荷夫定律），可写出下列原始方程式；

1

i(t)R i(t)dt ui(t) c （2-6）

1i(t)dt u(t)

o

c

消去中间变量i(t)后得到

Rc

duo(t)

uo(t) ui(t) （2-7） dt

式（2-7)就是所求系统的微分方程。

以上所讨论的系统均具有线性微方程，将具有线性微分方程的控制系统称为线性系统。对于一般研究的系统，其微分方程式的系数均为常数，称之为线性定常(或线性时不变)系统。线性系统具有以下特性。

叠加性 线性系统满足叠加原理，即几个外作用施加于系统所产生的总响应等于各个外作用单独

作用时产生的响应之和。

均匀性 均匀性也称为齐次性，线性系统具有均匀性，就是说当加于同一线性系统的外作用数值增大几倍时，则系统的响应亦相应地增大几倍。

在线性系统分析中，线性系统的叠加性和齐次性是很重要的。

2.2 非线性系统及其数学模型的线性化

2.2.1 非线性系统

本章第一节讨论的元件和系统，假设都是线性的，因而，描述它们的数学模型也都是线性微分方程。系统或元件的输出与输入间的关系不满足叠加原理及均匀性原理的，称为非线性系统或元件。事实上，任何一个元件或系统总是存在一定程度的非线性。例如，弹簧的刚度与其形变有关，并不一定是常数；电阻R、电感L、电容c等参数值与周围环境（温度、湿度、压力等）及流经它们的电流有关，也不一定是常数；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程等等。严格地说，实际系统的数学模型一般都是非线性的，而非线性微分方程没有通用的求解方法。因此，在研究系统时总是力图将非线性问题在合理、可能的条件下简化为线性问题处理。如果做某些近似或缩小一些研究问题的范围，可以将大部分非线性方程在一定的工作范围内近似用线性方程来代替，这样就可以用线性理论来分析和设计系统。虽然这种方法是近似的，但它便于分析计算，在一定的工作范围内能反映系统的特性，在工程实践中具有实际意义。

判别系统的数学模型微分方程是否是非线性的，可视其中的函数及其各阶导数，如出现高于一阶的项，或导数项的系数是输出变量的函数，则此微分方程是非线性的。

机械系统中常见的一些非线性特性举例如下：

传动间隙 由齿轮及丝杠螺母副组成的机床进给传动系统中，经常存在有传动间隙 （图2.2.1)，使输入转角Xi和输出位移X0间有滞环关系。只有消除了传动间隙，Xi与X0才具有线性关系。

死 区 在死区范围内，有输入而无输出动作。负开口液压伺服阀具有典型死区特性，如图2.2.2所示。

图2-5传动间隙 图2-6死区

摩擦力 机械滑动运动副，如机床滑动导轨运动副、主轴套筒运动副、活塞液压缸运动副等，在运动中都存在摩擦力。若假定为干摩擦力（也称库伦摩擦力），如图2-5所示。其大小为f，方向总是和速度x 的方向相反。实际上，运动副中的摩擦力与运动速度大小及其方向有关，如图2-6所示。

（2）预定工作点（额定工作点），若看作是系统广义坐标的原点，则有x0=0，y0=0，f(x0，y0）=0，Δx=x-x0，Δy=y-y0=y,因而式（2-10）、（2-11）中的Δ去掉，增量可写为绝对量，公式中的变量为绝对量了。

（3）若预定工作点不是系统冠以坐标的原点，这是普遍的情况。又系统的非线性微分方程f(x)=f1(x)+f2(x)(假定变量只有一个x)中仅f2(x)为非线性项，那么当把f2(x)应用式（2-10）线性化后，由于f2(x)成为增量式子，则f(x)及f1(x)也必须把其中的变量改为增量，以组成系统的线性化微分方程。

（4）当增量并不很小，在进行线性化时，为了验证容许的误差值，需要分析泰勒公式中的余项。 例2-5 铁芯线圈如图2-9（a）所示。试列写以电压ur为输入，电流i为输出的铁芯线圈的微分方程。

解 根据克希荷夫定律有

ur u1 Ri （2-12）

式中，u1为线圈的感应电势，它正比于线圈中磁通变化率，即

u1 K1

d (i)

（2-13） dt

式中，K1为比例常数。铁芯线圈的磁通是线圈中电流i的非线性函数，如图2-9（b）所示。将式（2-12）代入式（2-13）得 K1

d (i)di

Ri ur （2-14）

didt

R

显然这是一个非线性微分方程。

0

(a) 铁芯线圈原理图 (b)磁通与线圈电流关系

图2-9 铁芯线圈及磁通 (i)曲线

如果在工作过程中，线圈的电压、电流只在平衡工作点（u0,i0）附近作微小的变化， (i)在i0

的邻域内连续可导，则在平衡点i0邻域内，磁通 可表示成泰勒级数，即

d

0

di

1d2 i

2!di2i0

( i)2

i0

式中， i＝i i0，当 i“足够小”时，略去高阶项，取其一次近似，有

0

式中，

d di

i0

i

d di

i0

为平衡点i0处 (i)的导数值，令它为c1，则有

0 c1 i

0 c1 i

上式表明，经小扰动线性化处理后，线圈中电流增量与磁通增量之间已经近似为线性关系了。 将式（2-14）中ur， ，i均表示成平衡点附近的增量方程，即

ur u0 uri i0 i

0 c1 i

将上述三式代入方程(2-14)，消去中间变量并整理，可得 K1c1

d i

R i ur dt

（2-15）

式（2-15）就是铁芯线圈的线性化增量微分方程。在实际使用中，为简便起见，常常略去增量符号而写成

K1c1

di

Ri ur dt

（2-16）

但必须明确，ur和i均为相对于平衡工作点的增量（小变化量），而不是本身的真正值。

2.3 系统的传递函数

控制系统的微分方程，是在时间域内描述系统动态性能的数学模型。通过求解描述系统的微分方程，可以把握其运动规律。但计算量繁琐，尤其是对于高阶系统，难以根据微分方程的解，找到改进控制系统品质的有效方案。在Laplace变换的基础上，引入描述系统线性定常系统（或元件）在复数域中的数学模型——传递函数，不仅可以表征系统的动态特性，而且可以借以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，都是在传递函数基础上建立起来的。本节首先讨论传递函数的基本概念及其性质，在此基础上介绍典型环节的传递函数。 2.3.1 传递函数的定义

设有线性定常系统，若输入为xi(t)，输出为xo(t)，则系统微分方程的一般形式为

dnx0(t)dn 1x0(t)dmxi(t)dm 1xi(t)

an an 1 a0x0(t) bm bm 1 b0xi(t) nn 1mm 1

dtdtdtdt

式中：n≥m; an, bm (n ,m = 0,1,2, ……)均为实数。

在零初始条件下，即当外界输入作用前，输入、输出的初始条件xi(0)，xi(0)，…，xi

和xo(0)，xo(0)，…，xi

(1)

(n 1)

(1)

(m 1)

(0 )

(0 )均为零时，对上式作Lap1ace变换可得：

(ansn an 1sn 1 a1s a0)X0(s) (bmsm bm 1sm 1 b1s b0)Xi(s)

在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为零时，线性定常系统的输出xo(t)的Laplace变换

5、一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系，如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应。如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。

6、传递函数与脉冲响应函数一一对应，脉冲响应函数g(t)是指系统在单位脉冲输入量δ(t)作用下的输出。因为单位脉冲输入时，Xi(s) L (t) 1，因此，系统的输出

Xo(s) G(s) Xi(s) G(s)。而Xo(s)的拉式变换即为脉冲函数g(t)，它正好等于传递函数的拉

式反变换，即L

1

Xo(s) g(t)。因此，系统的脉冲响应g(t)与系统的传递函数G(s)有单值函数对应

关系，都可以用于表征系统的动态特性。

2.3.3 典型环节的传递函数

由于控制系统的微分方程往往是高阶的，因此其传递函数也往往是高阶的。不管控制系统的阶次有多高，均可化为一阶、二阶的一些典型环节，如比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。熟悉掌握这些环节的传递函数，有助于对复杂系统的分析与研究。

1. 比例环节

比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟而按比例地反映输入的环节称为比例环节。

动力学方程为： xo(t) Kxi(t) 式中：xo(t)—输出量；

xi(t)—输入量；

K—环节的放大系数或增益（常数）。 传递函数为： G(s)

Xo(s)

K （2-18） Xi(s)

例2-7 图2-10所示为运算放大器，其输出电压uo(t)与输入电压ui(t)之间有如下关系

uo(t)

R2

ui(t) R1

式中R1、R2为电阻。经Laplace变换后得其传递函数为

G(s)

Uo(s)R

2 K

Ui(s)R1

)

图2-10 运算放大器

2. 惯性环节(或一阶惯性环节)

惯性环节又称非周期环节，在这类环节中，因含有储能元件，所以对突变形式的输入信号不能立即输送出去。凡动力学方程为一阶微分方程T节。其传递函数为

dxo(t)

xo(t) xi(t)形式的环节，称为惯性环dt

G(s)

式中：T—为惯性环节的时间常数。

1

Ts 1 （2-19）

例2-8 图2-11为无源滤波电路，ui(t)为输入电压，uo(t)为输出电压，i为电流，R为电阻，c为电容。试求其传递函数。

R

图2-11 无源滤波电路

解 根据克希荷夫定律有

1

u(t) iR idt ic

u(t) 1idt o c

消除中间变量，得 Rc

duo(t)

uo(t) ui(t) dt

经Laplace变换后，得 RcsUo(s) Uo(s) Ui(s) 故传递函数为 G(s) 式中，T＝Rc为惯性环节的时间常数。

3. 微分环节

凡具有输出正比于输入的微分的环节，称为微分环节，即xo(t) Txi(t)。 其传递函数为

G(s)

Xo(s)

Ts （2-20） Xi(s)

"

Uo(s)1

Ui(s)Ts 1

式中：T——微分时间常数。

如液压油缸的流量与活塞的位移关系为 q(t) AX(t) 故流量对位移的传递函数为

4．积分环节

Q(s)

AS X(s)