二次函数详解

二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式　　y=ax2(上标)+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2/4a) ； 顶点式　　y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）或（h,k）对称轴为x=-m或x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax&sup2;的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 交点式　　y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点a（x1，0）和 b（x2，0）的抛物线] ； 　　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）　　y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。

由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距)

求根公式

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

求根公式　　x是自变量，y是x的二次函数 　　x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a 　　(即一元二次方程求根公式）（如右图）　 　　求根的方法还有因式分解法和配方法 编辑本段如何学习二次函数　　1。

要理解函数的意义。

　　2。

要记住函数的几个表达形式，注意区分。

　　3。

一般式,顶点式,交点式，等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。

　　4。

联系实际对函数图像的理解。

　　5。

计算时，看图像时切记取值范围。

编辑本段二次函数的图像　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x^2的图像， 　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像

如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

　　注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。

　　2画出对称轴，并注明X=什么 　　3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。

抛物线的性质 轴对称　　1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 顶点　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b^2/4a ) 　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2;-4ac=0时，P在x轴上。

开口　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

决定对称轴位置的因素　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号 　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时 　　（即ab＜ 0 ），对称轴在y轴右。

　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的 　　斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

决定抛物线与y轴交点的因素　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c） 抛物线与x轴交点个数　　6.抛物线与x轴交点个数 　　Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　_______ 　　Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上 　　虚数i，整个式子除以2a） 　　当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b&sup2;/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在 　　{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变 　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0) 特殊值的形式　　7.特殊值的形式 　　①当x=１时 y=a+b+c 　　②当x=-1时 y=a-b+c 　　③当x=2时 y=4a+2b+c 　　④当x=-2时 y=4a-2b+c 二次函数的性质　　8.定义域：R 　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a， 　　正无穷）；②[t，正无穷） 　　奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 。

　　周期性：无 　　解析式： 　　①y=ax^2+bx+c[一般式] 　　⑴a≠0 　　⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下； 　　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； 　　⑷Δ=b^2-4ac, 　　Δ＞0，图象与x轴交于两点： 　　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； 　　Δ＝0，图象与x轴交于一点： 　　（-b/2a，0）； 　　Δ＜0，图象与x轴无交点； 　　②y=a(x-h)^2+k[顶点式] 　　此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a； 　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0） 　　对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X 　　的增大而减小 　　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连 　　用）。

　　交点式是Y=a(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。

两交点X值就是相应X1 X2值。

编辑本段二次函数与一元二次方程　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c， 　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 　　即ax^2+bx+c=0 　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1．二次函数y=ax²;，y=a(x-h)²;，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 　　解析式 顶点坐标对 称 轴　　y=ax^2 (0，0) x=0　　y=ax^2+K(0，K) x=0 　　y=a(x-h)^2 (h，0) x=h 　　y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h 　　y=ax^2+bx+c (-b/2a，4ac-b²/4a)x=-b/2a 　　 　　当h>0时，y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到， 　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象； 　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象； 　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)^2+k的图象； 　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x+h)^2-k的图象；在向上或向下。

向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。

　　因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。

这给画图象提供了方便。

　　2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)。

　　3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。

若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。

　　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： 　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点a(x?，0)和b(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 　　(a≠0)的两根．这两点间的距离ab=|x?-x?| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－a |（a为其中一点的横坐标） 　　当△=0．图象与x轴只有一个交点； 　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。

　　5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

　　6．用待定系数法求二次函数的解析式 　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： 　　y=ax^2+bx+c(a≠0)。

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)。

　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。